Картографические проекции

Картографические проекции - математически определённые условные способы изображения на плоскости всей или части поверхности шара или эллипсоида вращения с малым сжатием.

I.Общие сведения. Изображение сети меридианов и параллелей в данной К. п. называется картографической сеткой этой проекции. Нередко проекцией называется и само изображение, в частности - картографическая сетка. К. п. может быть определена аналитически двумя уравнениями, напр. вида f₁=(φ, λ), f₂=(φ, λ) позволяющими по географич. координатам φ, λ (или иным координатам) изображаемой точки вычислить прямоугольные x, y (или иные) координаты изображения этой точки. Перспективные (см. ниже) и немногие другие К. п. можно определить геометрич. построениями, связывающими изображаемую точку с её изображением непосредственно - без участия координат. Чаще К. п. определяют правилом построения соответствующей ей нормальной (см. раздел III) картографич. сетки или такими её характерными свойствами, из к-рых могут быть выведены её уравнения. Большая часть К. п. симметрична относительно изображения некоторого "осевого" меридиана. При аналитич. определении проекции осевой меридиан карты обычно принимается за ось абсцисс (ОX). Шаровую или эллипсоидальную поверхность нельзя развернуть на плоскость подобно цилиндрической или конической. Следовательно, для карты, в противоположность плану, неприменимо определение масштаба как отношения любой длины на плане к соответствующей ей длине в натуре. Численным масштабом длин или просто масштабом карты в данной точке по данному направлению называется отношение бесконечно малого расстояния, взятого около этой точки в этом направлении, к соответствующему расстоянию в натуре; он зависит не только от положения точки, но, вообще говоря, и от направления. Такой масштаб называется также частным масштабом для противопоставления единому главному масштабу карты. Главный масштаб, надписываемый на карте, равен действительному, частному масштабу лишь в нек-рых определённых местах, к-рые следует указывать в легенде; обычно он близок к среднему значению частных масштабов; на картах в равновеликих проекциях он равен корню квадратному из общего для всей карты масштаба площадей. Отношение частного масштаба к главному называется увеличением масштаба или просто увеличением, а разность между увеличением и единицей - относительным искажением длин или просто искажением длина данной точке по данному направлению. Увеличение можно определить и как частный масштаб при изображении в данной К. п. воображаемого глобуса, представляющего геометрически подобное изображение Земли в главном масштабе карты. Именно в этом смысле и применяется в дальнейшем слово "глобус". Отношение бесконечно малой площадки на карте к соответствующей площадке на местности называется масштабом площадей в данной точке. Отношение масштаба площадей к квадрату главного масштаба есть увеличение площадей, а его уклонение от единицы - искажение площадей в данной точке. Искажением угла называется разность между углом, образованным двумя линиями на земной поверхности, и изображением этого угла на плоскости. Величина этого искажения зависит от положения вершины угла и от направлений его сторон. Характерным свойством проекции около данной точки является наибольшее искажение -w ("омега") угла в этой точке. Принято говорить, что "проекция сохраняет длины, площади или углы" там, где искажения этих элементов равны нулю. Сохранение длин во всех точках по всем направлениям невозможно. На карте могут сохраняться везде только либо углы, либо площади. С некоторыми видами искажений приходится мириться.

II.Теория искажений. Искажения в бесконечно малой области около обыкновенной точки проекции, где непрерывность изображения не нарушается, подчиняются некоторым общим простым законам. Ограничиваясь искажениями первого порядка (длин, площадей и углов, но не кривизны), можно рассматривать изображение всякой бесконечно малой фигуры как результат её аффинного преобразования (см.). Во всякой точке карты, где масштаб зависит от направления, существуют два, и только два, таких взаимно перпендикулярных направления, к-рым в натуре соответствуют также взаимно перпендикулярные направления; они называются главными направлениями. Вдоль них увеличения - наибольшее и наименьшее в данной точке. Если меридианы и параллели карты пересекаются под прямыми углами, то их направления и являются главными. Искажения длин в данной точке наглядно представляет эллипс искажений, геометрически подобный изображению бесконечно малой окружности, описанной вокруг соответствующей точки в натуре. Радиусы-векторы этого эллипса численно равны (в к.-в. условном масштабе) увеличениям в данной точке в соответственных направлениях: полуоси эллипса искажений численно равны экстремальным увеличениям, а их направления суть главные направления. В точках без искажений эллипс искажений вырождается в круг, радиус которого принят за единицу при измерении радиусов-векторов эллипсов искажений. Отношение площади эллипса искажений к площади этого круга равно увеличению площадей.

Основные формулы общей теории искажений:

Здесь a и b — экстремальные увеличения; с — увеличение в направлении, образующем угол u в натуре и угол u' на карте с «первым» главным направлением, увеличение по к-рому есть a; р — увеличение площадей; ω - наибольшее искажение углов; 2U—величина наиболее искажаемого угла в натуре, 2U’ —то же на карте, так что ω=2(U-U’); β — азимут первого главного направления в натуре, β' — то же на плоскости; m и n — увеличения вдоль меридиана и параллели; ψ — угол между меридианом и параллелью на карте.

III. Различные сетки одной и той же картографической проекции.

На поверхности шара (но не эллипсоида) возможнобесчисленное множество систем или сетей сферических координатных линий, подобных география, ме- ридианам и параллелям, но различающихся положением полюса. Две такие сети с полюсами Р_o и Z_o представлены на рис. 1 (иллюстрации на отдельном листе). Изображения всех этих сетей на плоскости в к.-н. проекции представляют бесчисленное множество картографич. сеток неодинако вого вида, но относящихся к одной и той же К. п. Нормальной сеткой называется сетка (обычно простейшая), к-рая непосредственно получается из определения данной К. п. Та система сферич. координат, изображением к-рой является нормальная сетка, есть нормальная для данной проекции система. Сетка называется поперечной, если изображает сеть сферических координатных линий, полюс Р_o к-рой удалён на 90^o от полюса Z_o нормальной системы, и косой, если расстояние Z_oP_o между полюсами нормальной и изображаемой координатных сетей не равно ни нулю, ни 90^o. Иногда нор- мальная сетка называется прямой проекцией. Происхождение разных сеток одной и той же К. п. может быть более наглядно уяснено на проекциях, точки к-рых получаются переносом изображаемых точек шара по определённым линиям на плоскость проекции. Рис. 2 поясняет это для ортографич. проекции, т. е. для обычного ортогонального проектирования шара на плоскость. Сфера С с сеткой меридианов и параллелей на ней проектируется ортогонально на плоскости КК, К'К' и К''К'', перпендикулярные к плоскости рисунка. Затем эти плоскости опрокинуты на плоскость рисунка, чтобы показать полученные на них картографич. сетки ортографич. проекции: нормальную, поперечную и косую соответственно. В общем случае пусть проекция определена уравнениями x = f₁ (z, а), у = f₂ (z, a), где z и а —сферич. полярные координаты изображаемой точки M_o (рис. 3), а именно, её сферич. расстояние z от полюса Z_o(φ_o, λ_o) нормальной системы координат и долгота а в этой системе или её «азимут», а х, у — прямоугольные координаты изображения этой точки на плоскости. Тогда соответствующую косую сетку, изображающую география, меридианы и параллели, можно построить следующим образом. Для точек Mo, сферы с круглыми равноотстоящими значениями широт F и долгот L, встречаю- щихся на составляемой карте, вычисляют значения нормальных координат г и а по известным формулам сферич. триго- нометрии, применённым к сферич. треугольнику PoZoMo:
cos z= sinφ_osinφ + cosφ_ocosφcos(φ - λ_o)
ctg a = cosφ_otgφcosec(λ - λ_o) — sinφ_octg(λ - λ_o)
Для этих значений z и а вычисляют координаты x, у по уравнениям проекции и по ж, у строят соответствующие узловые точки, т.е. точки пересечения меридианов и параллелей косой сетки.